\label{sect:teoria}
Antes de desarrollar el estudio emp'irico es importante conocer algunos 
resultados b'asicos del an'alisis matem'atico que ayudan a entender 
los resultados y a decidir a priori la direcci'on de los experimentos. 
No se realizar'an demostraciones de los teoremas y conceptos aqu'i mencionados
dado que las mismas escapan el alcance del trabajo. Cuando sea posible se
har'a referencia a bibliograf'ia que amplie lo presentado.

El primer punto a tener en cuenta, y uno de los principales, es el
\emph{teorema de Taylor}. Este teorema fue enunciado por el matem'atico
brit'anico \emph{Brook Taylor} en 1712 y permite aproximar una funci'on
$C^n$ en un entorno de un punto $x_{0}$ mediante
un polinomio de grado $n$ cuyos coeficientes dependen de las derivadas de 
la funci'on en ese punto.

Sea $f \in C^{n} [a,b]$ tal que $f^{n+1}$ existe en $[a,b]$ y
$x_{0} \in [a,b]$. Para cada $x \in [a,b]$, existe un n'umero $\xi(x)$ entre
$x_{0}$ y $x$ tal que 

\[
f(x) = P_{n}(x)+ R_{n}(x)
\]

donde 

\[
P_{n}(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0}) (x - x_{0}) + 
	\frac{f''(x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \ldots + 
	\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} 
\]

\[
P_{n}(x) = \sum{ \frac{f^{k}(x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} }
\]

y 

\[
R_{n}(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!} (x - x_{0})^{n+1} 
\]

En este caso, $P_{n}(x)$ es el \textbf{n-'esimo polinomio de Taylor} para f
respecto a $x_{0}$, y $R_{n}(x)$ se llama el \textbf{t'ermino del residuo
asociado a} $P_{n}(x)$. La seria infinita obtenida al tomar el l'imite de
$P_{n}(x)$ cuando $n \rightarrow \infty$ es la \textbf{serie de Taylor} para
$f$ en torno a $x_{0}$. En el caso $x_{0} = 0$, el polinomio de Taylor suele
llamarse \textbf{polinomio de Maclaurin}, y la serie de Taylor se llama
\textbf{serie de Maclaurin}. Mayor referencia sobre el Polinomio de Taylor 
puede encontrarse en~\cite{BurFa}.

Una serie se denomina \emph{alternada} si sus t'erminos son alternativamente 
positivos y negativos. Se puede escibir as'i:

\[ 
u_{1} - u_{2} + u_{3} - u_{4} + \ldots + u_{2h-1} - u_{2h} + \ldots
\]

indicando con $u_{n}$ no el t'ermino $n$-'esimo, sino el m'odulo o valor
absoluto del mismo. Dado que la serie de Taylor de $e^{-x}$ es alternada,
estas son de importancia para el trabajo.

Para este tipo de series, existe lo que se conoce como 
\emph{Criterio de convergencia para series alternadas}, propuesto por Leibniz
en 1704. Si una serie alternada cumple la condici'on:

\[ 
u_{1} > u_{2} > u_{3} > u_{4} > \ldots > u_{n} > \ldots
\]

es decir, los m'odulos de sus t'erminos son decrecientes, la condici'on 

\[ 
\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n} = 0
\]

es necesaria y suficiente para la convergencia, por lo cual existe y es 
finito $S$ tal que $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n} = S$ donde 
$S_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i u_i$.
En el caso de aplicaci'on del criterio anterior, el residuo o error 
$S - S_{n}$ es en valor absoluto menor o igual que el primer t'ermino no 
calculado:
\[ 
\left| S - S_{n} \right| \leq u_{n+1}
\]

Notar que est'a expresi'on del error es menor (mas ajustada) que la existente
para series de Taylor en general. Mayor referencia sobre el criterio de 
convergencia de Leibniz puede encontrarse en~\cite{RPastor}.

Otro concepto a tener en cuenta es el que se conoce como \emph{suma anidada}.
Sea P un polinomio de grado $n$:

\[ 
P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i
\]

Este polinomio puede escribirse alternativamente como 

\[
P(x) = a_{0} + (a_{1} + (a_{2} + .... (a_{n-1} + a_{n} x ) \ldots x) x
\]

Esta propiedad se conoce como \emph{suma anidada} o regla de Horn. De esta
'ultima expresi'on se deriva una nueva forma de evaluaci'on de polinomios
que, por ejemplo, no requiere elevar x expl'icitamente. Mayor referencia 
sobre la suma anidada puede encontrarse en~\cite{BurFa}.

Adem'as de lo aqu'i presentado es necesario un conocimiento b'asico sobre
aritm'etica finita. Esto no se incluye aqu'i pero puede encontrarse en 
cualquier libro introductorio de an'alisis num'erico \cite{BurFa} o 'algebra 
lineal \cite{Gross}. Adem'as puede ser 'util conocer el standard de la 
IEEE para representaciones de punto flotante \cite{IEEE754}.
